양자역학, 행렬 그리고 시뮬레이션 우주

양자역학, 행렬
그리고 시뮬레이션 우주.

우주의 가장 깊은 곳에는 입자도, 파동도, 별도 없다 — 오직 숫자가 있을 뿐이다.

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1925년 여름, 25세의 베르너 하이젠베르크는 헬골란트라는 작은 섬에서 꽃가루 알레르기로 코를 훌쩍이며 한 가지 사실을 깨달았다. 원자 안의 전자는 우리가 상상하는 의미의 "위치"를 갖지 않는다. 우리가 실제로 측정할 수 있는 것은 전자가 한 에너지 상태에서 다른 상태로 건너뛸 때 방출되는 빛의 진동수, 오직 그것뿐이다.

그가 새로 만든 물리학에는 점도 없고 궤도도 없었다. 대신 상태와 상태 사이의 전이(transition)가 모든 것이었다. 상태 i에서 상태 j로 가는 진폭을 격자처럼 늘어놓으면 무엇이 되는가? 그것은 바로 — 행렬이다. 한 달 뒤, 막스 보른과 파스쿠알 요르단이 그에게 말해줬다. "자네가 발명한 건 사실 200년 전부터 수학자들이 쓰던 행렬이라는 것일세." 그렇게 양자역학은 행렬의 언어로 태어났고, 백 년이 지난 지금까지도 그 언어를 떠난 적이 없다.

그리고 정확히 이 행렬이라는 형태가 — 우리 우주가 어쩌면 거대한 시뮬레이션일지도 모른다는 가설의 가장 묘한 근거가 된다. 이 글은 그 이야기다.

PART 01 · MATRIX MECHANICS

관측 가능한 것은 모두 행렬이다

양자역학의 첫 번째 공리는 충격적일 만큼 단순하다. 물리적으로 측정 가능한 모든 양은 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이다. 위치? 행렬이다. 운동량? 행렬이다. 에너지? 행렬이다. 스핀? 단 2×2짜리 행렬(파울리 행렬)이면 충분하다. 그리고 측정의 결과는 그 행렬의 고윳값(eigenvalue)으로만 나타날 수 있다.

이 문장은 짧지만 함의는 무겁다. 자연은 우리 눈에 매끄럽고 연속적으로 보인다. 시계 바늘은 12에서 1로 천천히 움직이고, 빛의 밝기는 0에서 최대로 부드럽게 증가하는 것처럼 보인다. 그러나 그 가장 깊은 층에서 자연은 행렬의 고윳값이라는 — 이산적인 숫자의 집합으로만 자신을 드러낸다. 마치 우리가 보는 연속적인 동영상이 사실은 초당 60장의 정지된 프레임으로 구성되어 있는 것처럼.

수학자가 아니라 철학자의 눈으로 행렬이라는 객체를 다시 보자. 행렬은 본질적으로 세 가지 성질을 갖는다.

(1) 정보의 격자다. 무한 차원이라 해도 가산(countable)인 단위로 쪼개진다.

(2) 선형 변환이다. 시간이 흘러도 상태들의 중첩은 깨지지 않는다.

(3) 비가환(non-commutative)이다. AB ≠ BA. 측정 순서가 바뀌면 결과가 바뀐다.

세 번째 성질이 결정적이다. 양자역학의 그 유명한 "불확정성"은 어떤 신비주의가 아니라 두 행렬이 같은 순간에 대각화될 수 없다는 단순한 선형대수학적 사실일 뿐이다. 위치 행렬 X̂과 운동량 행렬 P̂의 교환자가 0이 아니라는 한 줄,

[ X̂, P̂ ] = iℏ

이 식 하나가 양자역학의 모든 기묘함을 낳는다. 자연이 왜 굳이 비가환 행렬로 자신을 표현해야 했는지는 아무도 모른다. 하지만 만약 우주가 정보의 격자 위에 구성되어 있다면, 비가환성은 이렇게 읽을 수 있다 — 두 질문이 같은 메모리 슬롯을 동시에 점유할 수 없다.

PART 02 · BOSTROM 2003

시뮬레이션 우주 가설 — 세 갈래의 진실

2003년, 옥스퍼드 대학의 철학자 닉 보스트롬(Nick Bostrom)이 짧지만 영향력 있는 한 편의 논문을 발표한다. 그가 주장한 바는 단순하다. 다음 세 명제 중 적어도 하나는 반드시 참이라는 것이다.

(1) 인류 수준의 문명은 거의 모두 자기파괴되어 "후기 인류" 단계에 도달하지 못한다.

(2) 후기 인류 문명에 도달한 어떤 문명도 조상-시뮬레이션을 실행할 관심이 없다.

(3) 우리는 거의 확실히 시뮬레이션 안에 있다.

논리는 흠잡을 데 없이 단정하다. 어떤 문명이라도 충분히 강력한 컴퓨터로 의식 있는 존재들의 우주를 시뮬레이션할 수 있다면, 그런 시뮬레이션의 수는 "진짜" 우주의 수를 압도적으로 능가할 것이다. 한 문명이 만 개의 시뮬레이션을 돌린다면, 시뮬레이션 안의 의식과 시뮬레이션 바깥의 의식의 비율은 만 대 일이 된다. 그렇다면 무작위로 골라낸 어떤 의식이 — 예컨대 지금 이 글을 읽고 있는 당신이 — 시뮬레이션 안에 있을 확률은 1에 수렴한다.

물론 이 논증의 약점은 명확하다. "의식을 시뮬레이션할 수 있다"는 전제는 아직 검증되지 않았으며, 어쩌면 영원히 검증될 수 없을지도 모른다. 그러나 흥미로운 점은 양자역학이 가진 그 묘한 행렬 구조가 — 이 가설에 분명한 물리학적 지문을 남긴다는 것이다.

다음 장에서 그 지문들을 하나씩 살펴보자.

PART 03 · ENGINEERING CHOICES

신이 우주를 시뮬레이션한다면, 어떤 결정을 내릴까

잠시 신이 되었다고 가정해보자. 당신은 의식 있는 존재들이 살아갈 우주를 시뮬레이션해야 한다. 메모리는 무한하지 않고, 클럭 사이클도 비용이 든다. 어떤 공학적 결정을 내릴 것인가? 그리고 — 우리 우주의 양자역학은 그 결정과 얼마나 닮아 있는가?

(a) 연속적인 실수는 쓰지 않는다

진짜 의미의 연속체(continuum)는 무한한 정보다. 하지만 컴퓨터는 유한한 비트로 작동한다. 따라서 자연의 가장 깊은 층은 어떤 식으로든 이산화되어 있어야 한다. — 양자역학이 알려주는 사실: 에너지·각운동량·스핀이 모두 이산적인 고윳값을 갖는다. 자연은 우리가 보는 매끄러운 외피와 달리, 안쪽에서는 디지털이다.

(b) 관측되지 않은 것은 렌더링하지 않는다

비디오 게임을 만들 때, 화면 밖 NPC의 머리카락 한 올 한 올을 매 프레임 계산할 필요는 없다. 카메라가 보는 순간에만 그것이 존재하면 충분하다. — 양자역학이 알려주는 사실: 측정 전까지 입자는 명확한 위치를 갖지 않는다. 측정의 순간 — 고전적 표현으로는 파동함수의 붕괴 — 에 비로소 하나의 값으로 결정된다.

(c) 같은 객체는 같은 ID로 묶어 메모리를 절약한다

객체지향 프로그래밍의 "싱글톤 패턴"을 떠올려보자. — 양자역학이 알려주는 사실: 두 전자는 원리상 구별할 수 없다. 동일 입자의 교환은 측정 가능한 어떤 차이도 만들지 않는다(보존과 페르미온의 통계).

(d) 광속은 최대 클럭 속도다

정보가 한 셀에서 옆 셀로 전파되는 데 최소 1틱이 걸린다. 그 셀 크기와 틱 길이의 비가 그 시뮬레이션의 광속이다. — 상대성이론이 알려주는 사실: 광속은 우주의 절대적 상한선이다. 그 값은 정확히 측정되지만, 왜 그 값인지에 대한 어떤 물리적 근거도 없다.

(e) 플랑크 길이라는 "픽셀"

길이 ℓ_P ≈ 1.6 × 10⁻³⁵ 미터 아래에서는 시공간 자체가 더 이상 무의미해진다. 양자중력 이론에서 이 길이는 "더 나눌 수 없는" 최소 단위로 추정된다. — 픽셀이다.

이 모든 단서를 종합하면, 우리 우주는 "비트 절약과 계산량 최소화를 위해 정교하게 설계된 어떤 격자 시뮬레이션"이 내릴 법한 거의 모든 공학적 결정을 만족시킨다. 그리고 그 격자의 수학적 형태는 — 우리가 1925년부터 알고 있던 — 정확히 행렬이다.

PART 04 · ENTANGLEMENT

그러나 한 가지 빠진 조각이 있다

지금까지의 그림은 너무 깔끔해서 오히려 의심스러울 정도다. 그러나 양자역학에는 시뮬레이션 가설이 설명하기 어려워하는 한 가지 현상이 있다. 양자 얽힘(entanglement)이다.

두 입자가 얽혀 있을 때, 한쪽을 측정하면 다른 쪽의 상태가 즉시 결정된다. 두 입자 사이가 100억 광년 떨어져 있어도 상관없다. 빛이 그 거리를 가로지르기 한참 전에 이미 결정되어 있다. 아인슈타인은 이것을 "유령 같은 원격 작용(spooky action at a distance)"이라 부르며 평생 인정하지 않았지만, 1980년대 알랭 아스페의 실험 이후 양자 얽힘은 의심할 수 없는 사실이 되었다.

만약 이것이 시뮬레이션이라면, 두 입자는 우주의 정반대 끝의 메모리 영역에 저장되어 있을 텐데 — 어떻게 즉시 동기화될 수 있단 말인가? 광속이 클럭 속도라면, 이 즉각적 상관관계는 광속을 위반하지 않는가?

놀랍게도, 답은 시뮬레이션 가설에 오히려 유리하다. 같은 객체를 두 곳에서 참조하고 있다면 — 즉 두 입자가 사실은 메모리상 동일한 데이터 구조에 대한 두 개의 포인터라면 — 한쪽을 수정했을 때 다른 쪽이 즉시 같은 값을 보이는 건 너무도 당연하다. 거리는 시뮬레이션 안에서 렌더링된 개념이지, 데이터 구조 자체의 속성이 아니기 때문이다.

"It from bit. 모든 것은 비트에서 나온다."

— John A. Wheeler, 1990

PART 05 · CODA

그래서, 우리는 시뮬레이션 안에 있는가

정직한 답은 — 알 수 없다는 것이다. 그리고 어쩌면 원리상 알 수 없을지도 모른다. 시뮬레이션을 설계한 자가 그 안에 사는 존재들이 자신의 본질을 알아챌 수 있게 두었다면, 그것 또한 설계의 일부일 테니까. 마치 잘 만든 영화 속 등장인물이 자신이 영화 속에 있다는 것을 깨닫게 만드는 장면 — 그 깨달음마저 시나리오의 일부인 것처럼.

그러나 한 가지는 분명하다. 자연이 자신을 드러내는 가장 깊은 언어가 행렬이라는 사실, 그리고 그 행렬이 비가환적이며 이산적이라는 사실은 — 우리 우주가 적어도 시뮬레이션과 수학적으로 구별 불가능한 형태를 하고 있다는 것이다. 시뮬레이션이 아니라 해도, 시뮬레이션이라면 이렇게 생겼을 모습과 우리 우주는 점점 더 닮아간다.

당신이 지금 이 글을 읽고 있는 화면이 픽셀 격자 위에 그려진 빛이듯이, 어쩌면 당신이라는 존재 자체도 — 어떤 거대한 행렬의 고윳값 하나로 — 지금 이 순간 어딘가에서 계산되고 있는지 모른다.

그렇다면, 계산 결과로서의 당신은
다음으로 어떤 질문을 던지겠는가?

FURTHER READING

· Werner Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (1925)

· Nick Bostrom, Are You Living in a Computer Simulation? (2003)

· John A. Wheeler, Information, Physics, Quantum: The Search for Links (1990)

· Max Tegmark, Our Mathematical Universe (2014)

· Seth Lloyd, Programming the Universe (2006)

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